Dérivée de la fonction racine carrée

Soit  `f`  la fonction définie sur  `[0;+\infty[`  par  `f(x)=\sqrt(x)`  et  `a`  un réel strictement positif.
Pour tout réel  `h\ne0`  tel que  `a+h\in ]0;+\infty[` , on a : 

`\tau_a(h)=(\sqrt(a+h)-\sqrt(a ))/h=(\sqrt(a+h)-\sqrt(a ))/h×(\sqrt(a+h)+\sqrt(a ))/(\sqrt(a+h)+\sqrt(a))`

`\tau_a(h)=(a+h-a)/(h(\sqrt(a+h)+\sqrt(a)))=1/(\sqrt(a+h)+\sqrt(a ))` . 

Et  \(\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_a(h)= \lim_\limits{h\rightarrow0}\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\) . 

On en déduit que  `f`  est dérivable sur  `]0;+\infty[`  et pour tout  \(x\) strictement positif \(f^\prime\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt x}\) .